如图.在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=-x2+a与直线y=kx+b交于P.Q两点.交y轴于点M.点D为抛物线顶点.点N(0.3).连接PN.QN.则y轴平分∠PNQ．时.点P的坐标为($-\frac{1}{2}.\frac{7}{4}$).直接写出PQ的解析式y=-$\frac{3}{2}$x+1,取点Q时.点P的坐标为．直接写出直线PQ的解析式y=-x-1,(2)猜想:我们猜� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+a与直线y=kx+b（k≠0）交于P，Q两点，交y轴于点M，点D为抛物线顶点，点N（0，3），连接PN，QN，则y轴平分∠PNQ．
（1）探究：取点Q（2，-2）时，点P的坐标为（$-\frac{1}{2}，\frac{7}{4}$），直接写出PQ的解析式y=-$\frac{3}{2}$x+1；取点Q（2，-3）时，点P的坐标为（-1，0）．直接写出直线PQ的解析式y=-x-1；
（2）猜想：我们猜想当a取任意小于3的实数时，ND与MD的数量关系为ND=MD．
（3）请取点P点坐标（x_p，y_p），Q点坐标（x_q，y_q），验证你的猜想．

分析（1）①利用待定系数法即可切线PQ的解析式．②根据对称性求出直线PN的解析式，再求出抛物线的解析式，解方程组求出点P坐标即可解决问题．
（2）由（1）中探究发现，DN=DM．
（3）作PE⊥ON于E，QF⊥y轴于F．由△NPE∽△NQF，推出$\frac{NE}{PE}$=$\frac{NF}{QF}$，可得$\frac{3-（k{x}_{P}+b）}{-{x}_{P}}$=$\frac{3-（k{x}_{Q}+b）}{{x}_{Q}}$，整理得3（x_p+x_Q）-2k（x_P•x_Q）-b（x_P+x_Q）=0由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+a}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，消去y得到，x²+kx+b-a=0，可得x_P+x_Q=-k，x_P•x_Q=b-a，推出-3k-2k（b-a）+bk=0，推出b=2a-3，推出直线PQ与y轴的交点M的坐标为（0，2a-3），推出DM=3-a，DN=3-a，由此即可解决问题．

解答解；（1）当点Q（2，-2），点P为（$-\frac{1}{2}，\frac{7}{4}$）时，设直线PQ的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-2}\\{-\frac{1}{2}k+b=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线PQ的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+1．
点Q（2，-3）时，根据对称性可知直线NP经过点（-2，-3），
把Q（2，-3）代入y=-x²+a得到a=1，
∴直线PN的解析式为y=3x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+3}\\{y=-{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（-1，0）
∴直线PQ的解析式为y=-x-1．
故答案分别为y=-$\frac{3}{2}$x+1，（-1，0），y=-x-1．

（2）由（1）可知当点Q（2，-2），点P为（$-\frac{1}{2}，\frac{7}{4}$）时，DN=DM=1，
当点Q（2，-3）时，DN=DM=2，
所以猜想ND=MD．

（3）∵P点坐标（x_p，y_p），Q点坐标（x_q，y_q），作PE⊥ON于E，QF⊥y轴于F．

∵∠PNE=∠QNF，∠PEN=∠QFN=90°，
∴△NPE∽△NQF，
∴$\frac{NE}{PE}$=$\frac{NF}{QF}$，
∴$\frac{3-（k{x}_{P}+b）}{-{x}_{P}}$=$\frac{3-（k{x}_{Q}+b）}{{x}_{Q}}$，
整理得3（x_p+x_Q）-2k（x_P•x_Q）-b（x_P+x_Q）=0
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+a}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，消去y得到，x²+kx+b-a=0，
∴x_P+x_Q=-k，x_P•x_Q=b-a，
∴-3k-2k（b-a）+bk=0，
∴b=2a-3，
∴直线PQ与y轴的交点M的坐标为（0，2a-3），
∴DM=3-a，DN=3-a，
∴DN=DM．

点评本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，学会利用参数构建方程，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．

试题分类