Question

15．已知一个三次多项式除以x²-9的余式为3x-5，除以x²-16余式-2x-7，求这个三次多项式．

Answer 1

分析 设所求三次多项式A=ax³+bx²+cx+d（a≠0），A除以x²-9，x²-16时，商式分别为ax+m，ax+n，则ax³+bx²+cx+d=（x²-9）（ax+m）+3x-5①，ax³+bx²+cx+d=（x²-16）（ax+n）-2x-7②，用特值法列出方程组，从而确定a，b，c，d这4个系数．

解答 解：设所求三次多项式A=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
A除以x²-9，x²-16时，商式分别为ax+m，ax+n，
则ax³+bx²+cx+d=（x²-9）（ax+m）+3x-5①，
ax³+bx²+cx+d=（x²-16）（ax+n）-2x-7②，
在①式中分别取x=3，-3时，
27a+9b+3c+d=4③，
-27a+9b-3c+d=-1④，
在②式中分别取x=4，-4时，
64a+16b+4c+d=-15⑤，
-64a+16b-4c+d=1⑥，
联立③④⑤⑥，解得：a=-$\frac{17}{42}$，b=-$\frac{17}{14}$，c=$\frac{94}{21}$，d=$\frac{87}{7}$．
故所求的三次多项式为-$\frac{17}{42}$x³-$\frac{17}{14}$x²+$\frac{94}{21}$x+$\frac{87}{7}$．

点评 本题考查多项式的除法，弄清被除式、除式、商、余式四者之间的关系是解题的关键．其中（3）用特值法列方程组求解，难度较大．