Question

3．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，AC⊥x轴，它的顶点A的坐标为（10，0），C（10，$\frac{20\sqrt{3}}{3}$），点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，若P点的速度为2单位/秒，设P运动的时间为t秒．
（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）
（2）求出B点的坐标．
（3）当P在边AB上运动时，t取何值时，OP=OQ．
（4）当P沿A→B→C运动时，是否存在PO=PQ，若存在，求出此时的时间t，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）结合图形，计算即可；
（2）（2）作BH⊥OA于H，根据余弦的概念求出AB，根据直角三角形的性质求出AH、BH，确定B点的坐标；
（3）作PM⊥OA于M，根据正弦的定义用t表示出PM、OP，根据题意列出算式，计算即可；
（4）分P在AB上和P在BC上两种情况，根据等腰三角形的性质定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵∠CAB=30°，AC⊥x轴，
∴∠BAO=90°-30°=60°；
（2）作BH⊥OA于H，
由题意得，AC=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，OA=10，
∵∠CAB=30°，
∴AB=AC•cos∠CAB=10，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=5，BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=5$\sqrt{3}$，
则OH=OA-OH=5，
∴B点的坐标为（5，5$\sqrt{3}$）；
（3）如图2，作PM⊥OA于M，
∵AP=2t，∠OAB=60°，
∴PM=AP•sin∠OAB=$\sqrt{3}$t，
∴OP=2PM=2$\sqrt{3}$t，
∵OP=OQ，
∴2t+2=2$\sqrt{3}$t，
解得，t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
即当t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$时，OP=OQ；
（4）当P在AB上时，P点纵坐标为$\sqrt{3}$t，
∵PO=PQ，
∴$\sqrt{3}$t=$\frac{2+2t}{2}$，
解得，t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
当P在BC上时，$\frac{2t-5}{2}$+5$\sqrt{3}$=$\frac{2+2t}{2}$，
此方程无解，
故当t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$时，OP=OQ．

点评 本题直角三角形的性质、锐角就是说的定义，掌握解直角三角形的应用、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．