Question

7．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC=8．
（1）用尺规作出经过A、B、C三点的圆；
（2）求这个圆的半径的长；
（3）判断点D和这个圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形外接圆的作法得出圆心位置，进而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的判定与性质结合菱形的性质得出半径长；
（3）利用点与圆的位置关系判定方法得出答案．

解答 解：（1）如图所示：⊙O即为所求；

（2）由题意可得：∠ABF=∠OBE，∠DEB=∠AFB=90°，
故△OEB∽△AFB，
则$\frac{BE}{BF}$=$\frac{AB}{OB}$，
∵菱形ABCD的边长为5，对角线AC=8，
∴AF=4，则BF=3，BE=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{3}$=$\frac{BO}{5}$，
解得：BO=$\frac{25}{6}$，
即这个圆的半径的长为$\frac{25}{6}$；

（3）点D在圆内，
理由：∵菱形ABCD的边长为5，对角线AC=8，
∴AF=4，则BF=3，
∴BD=6，
∴DO=6-$\frac{25}{6}$=$\frac{11}{6}$＜$\frac{25}{6}$，
∴点D在圆内．

点评 此题主要考查了复杂作图以及菱形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．