Question

17．如图，在△ABC中，AB=6，BC=9，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=∠ABC，ED与AB的延长线交于点F．
（1）求证：△DBF∽△ADF；
（2）当BD=4时，求$\frac{AD}{AC}$的值；
（3）在第（2）题的条件下，若AC=8，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）由∠ADE=∠ABC，得到∠ADF=∠DBF 由于∠AFD=∠BFD，于是得到结论；
（2）在△ABC与△ADB中，由于$\frac{AB}{BD}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{AB}$=$\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$，于是得到$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$，由∠ABD是公共角，于是证得△ABC∽△ADB，即可得到结论；
（3）由（1）知△DBF∽△ADF，根据相似三角形的性质得到$\frac{BF}{DF}=\frac{DF}{AF}$=$\frac{BD}{AD}$，求得$\frac{BF}{DF}=\frac{DF}{AF}$=$\frac{4}{\frac{16}{3}}$=$\frac{3}{4}$，于是得到DF²=BF•AF=BF（BA+BF），列方程即可求得结果．

解答 （1）证明：∵∠ADE=∠ABC，
∴∠ADF=∠DBF
∵∠AFD=∠BFD，
∴△DBF∽△ADF；

（2）∵在△ABC与△ADB中，
∵$\frac{AB}{BD}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{AB}$=$\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$，
∵∠ABD是公共角，
∴△ABC∽△ADB，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{BD}=\frac{3}{2}$；

（3）由（1）知△DBF∽△ADF，
∴$\frac{BF}{DF}=\frac{DF}{AF}$=$\frac{BD}{AD}$，
∵$\frac{AC}{AD}$=$\frac{3}{2}$，AC=8，
∴AD=$\frac{16}{3}$，
∴$\frac{BF}{DF}=\frac{DF}{AF}$=$\frac{4}{\frac{16}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
∴DF²=BF•AF=BF（BA+BF），
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{\sqrt{BF（AB+BF）}}{AB+BF}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{BF}{6+BF}=\frac{9}{16}$，
解得：BF=$\frac{54}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．