Question

2．下列命题：
①若a+b+c=0，则b²-4ac≥0；
②若b＞a+c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若b=2a+3c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
④若b²-4ac＞0，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．
其中正确的是①③④．

Answer 1

分析 ①根据完全平方公式，可得答案；
②根据根的判别式，可得答案；
③根据根的判别式，可得答案；
④根据根的判别式，可的响应的函数图象与坐标轴交点的个数．

解答 解：①由a+b+c=0得b=-a-c，
∴b²-4ac=（-a-c）²-4ac=（a-c）²≥0，故①正确；
②由b＞a+c，b²和（a+c）²无法比较，从而无法判断b²-4ac的大小，若b＜0，则b²＜（a+c）²；若a+c＞0，则b²＞（a+c）²；故②错误；
③若b=2a+3c，则b²-4ac=4a²+8ac+9c²=4（a+c）²+5c²≥0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，又a≠0，则a+c和c必有一个不为0；故判别式△＞0；即有两根且不等；故③正确
④若b²-4ac＞0，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3，故④正确；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了命题与定理，利用完全平方公式，根的判别式大于零一元二次方程有两个实数根，相应的二次函数与x轴有两个交点，与y轴有一个交点．判别式等于零一元二次方程有两个相等的实数根．