Question

10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于A、B两点．与y轴交于点C，过点B作BD⊥y轴于点D．己CD=3，tan∠BCD=$\frac{2}{3}$．点B的坐标为（m，-1）．
（1）求线段BC的长：
（2）求反比例函数和一次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）在Rt△BCD中，根据正切的定义可得出BD的长度，再根据勾股定理即可得出BC的长度；
（2）由BC的长度结合点B的坐标，即可得出点B及点C的坐标，根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出一次（反比例）函数解析式．

解答 解：（1）在Rt△BCD中，∠BDC=90°，CD=3，tan∠BCD=$\frac{2}{3}$，
∴BD=2，BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
（2）∵BD=2，点B的坐标为（m，-1），CD=3，
∴m=2，OD=1，OC=2，
∴点B的坐标为（2，-1），点C的坐标为（0，2）．
将点B（2，-1）、C（0，2）代入y=ax+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+2．
将点B（2，-1）代入y=$\frac{k}{x}$中，
-1=$\frac{k}{2}$，解得：k=-2，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{2}{x}$．

点评 本题考查了解直角三角形、反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求一次（反比例）函数解析式，解题的关键是：（1）利用勾股定理求出BC的长度；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．