Question

1．如图，已知：点A（0，2），动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y=-2x+b也随之移动，并与x轴交于点B，设动点P移动时间为t s．
（1）当t=2s时，求直线l的函数表达式；
（2）如果点M（a，3），当OM是Rt△OPB斜边PB上的中线时，在备用图中画出图形，并分别求出t和a的值；
（3）直接写出t为何值时，直线l与双曲线y=$\frac{4}{x}$（x＞0）有且仅有一个公共点．

Answer 1

分析 （1）先求出AP进而得出OP即可求出b；
（2）先确定出直线l的解析式，进而求出点B，P的坐标，利用中点坐标即可得出t，a的值；
（3）联立直线l和双曲线建立方程用△=0，即可求出t的值．

解答 解：（1）当t=2时，AP=2×1=2
∵A（0，2），
∴OA=2，
∴OP=OA+AP=2+2=4，
∴直线l的解析式为y=-2x+4；

（2）如图，

由运动知，AP=t，
∴OP=OA+AP=t+2，
∴直线l的解析式为y=-2x+t+2，
∴P（0，t+2），B（$\frac{t+2}{2}$，0），
∵OM是Rt△OPB的斜边PB上的中线，
∴M（a，3）是PB的中点，
∴$\frac{t+2}{2}$=2a，t+2=3×2，
∴t=4，a=$\frac{3}{2}$

（3）由（2）知，直线l的解析式为y=-2x+t+2①，
∵双曲线y=$\frac{4}{x}$②，
联立①②化简得，2x²-（t+2）x+4=0，
∵直线l与双曲线y=$\frac{4}{x}$（x＞0）有且仅有一个公共点．
∴△=（t+2）²-4×2×4=0，
∴t=-2+4$\sqrt{2}$或t=-2-4$\sqrt{2}$（舍），
即：t=-2+4$\sqrt{2}$时，直线l与双曲线y=$\frac{4}{x}$（x＞0）有且仅有一个公共点．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，直角三角形的性质，一元二次方程根的情况，解（1）的关键是求出OP，解（2）的关键是求出点B，P的坐标，解（3）的关键是用一元二次方程根的判别式建立方程求解．