Question

【题目】我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，则四边形ABCD是“对直角四边形”．

（1）“对角线相等的对直角四边形是矩形”是______命题；（填“真”或“假”）

（2）如图2，在对直角四边形ABCD中，∠DAB＜90°，AD+CD=AB+BC．试说明△ADC的面积与△ABC的面积相等；

（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，过AB的中点D作射线DP∥AC，交BC于点O，∠BDP与∠ADP的角平分线分别交BC，AC于点E、F．

①图中是“对直角四边形”的是______；

②当OP的长是______时，四边形DEPF为对直角四边形．

Answer 1

【答案】（1）真；（2）见解析；（3）①四边形ECFD；②当OP=2时，四边形DEPF是“对直角四边形”．

【解析】

（1）是真命题．证明A，B，C，D四点共圆，证明AC是直径即可解决问题．

（2）利用勾股定理以及完全平方公式进行计算，即可证明．

（3）①结论：四边形ECFD 是“对直角四边形”．根据角平分线的定义，得到∠EDF=90°，即可得到答案；

②如图3中，当OP=2时，四边形DEPF是“对直角四边形”．找到证明三角形全等的条件，得到△EDB≌△EDP，即可证明∠EPF=90°，即可得到答案．

（1）解：结论：真．

理由：如图1-1中，

∵∠BAD=∠BCD=90°，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴BD是⊙O的直径，

∵AC=BD，

∴AC也是⊙O的直径，

∴∠ADC=∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是矩形．

故答案为：真．

（2）证明：如图2中，

∵四边形ABCD是对直角四边形，∠DAB＜90°，

∴∠D=∠B=90°，

∴AD2+DC2=AC2，AB2+BC2=AC2，

∴AD2+DC2=AB2+BC2，

∵AD+DC=AB+BC

∴（AD+DC）2=（AB+BC）2，

即：AD2+2ADDC+DC2=AB2+2ABBC+BC2，

∴2ADDC=2ABBC，

∴ADDC=ABBC，

即：S△ADC=S△ABC．

（3）①结论：四边形ECFD是“对直角四边形”．

理由：如图3中，

∵DE平分∠BDP，DF平分∠ADP，

∴∠EDP=∠BDP，∠FDP=∠ADP，

∴∠EDF=（∠BDP+∠ADP）=90°，

∵∠C=90°，

∴四边形ECFD是“对直角四边形”．

故答案为：四边形ECFD．

②如图3中，当OP=2时，四边形DEPF是“对直角四边形”．

理由：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8，AC=6，

∴AB==10，

∵BD=AD=5，DP∥AC，

∴OB=OC，

∴OD=AC=3，

∵OP=2，

∴DP=5，

∵∠PDF=∠DFA=∠ADF，

∴AD=AF=5，

∴DP=AF，DP∥AF，

∴四边形ADPF是平行四边形，

∴∠A=∠DPF，

∵DP=DB，DE=DE，∠EDB=∠EDP，

∴△EDB≌△EDP（SAS），

∴∠DPE=∠B，

∴∠EPF=∠DPE+∠DPF=∠B+∠A=90°，

∵∠EDF=90°，

∴四边形DEPF是“对直角四边形”．

故答案为：2．