Question

20．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点．以O为圆心，OE长为半径的半圆交AB于E、F两点，D是其上一动点（可以与E、F两点重合），CD是小半圆的切线，D为切点．已知AO=4，EO=2，设阴影部分的面积为S，则S的取值范围是2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$≤S≤$\frac{20π}{3}$-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先确定S最大和最小时，C的位置，C的位置确定，则D有唯一的位置对应；①当C与B重合时，如图1，此时S最小；②当C与A重合时，如图2，此时S最大，根据面积差求出即可．

解答 解：连接OD，
∵DC为⊙O的切线，
∴OD⊥DC，
∴∠ODC=90°，
①当C与B重合时，如图1，
Rt△ODB中，OD=2，OB=4，
∴DC=2$\sqrt{3}$，
∴∠DOB=60°，
∴S=S_△ODB-S_扇形ODF=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$；
②当C与A重合时，如图2，
∴S=$\frac{1}{2}$（π•4²-π•2²）-（2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$），
=6π-2$\sqrt{3}$+$\frac{2π}{3}$，
=$\frac{20π}{3}$-2$\sqrt{3}$；
综上所述，S的取值范围是：2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$≤S≤$\frac{20π}{3}$-2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$≤S≤$\frac{20π}{3}$-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质、扇形面积及阴影面积的求法，利用数形结合的思想，并与切线的性质相联系，确定点C的位置是关键．