Question

设抛物线y=2x²+kx+1-2k（k为常数）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，并且A点在原点O的左侧，B在原点O的右侧，且（OA+OB）²-OC=

29

4

．求：在抛物线上是否存在D、E两点，使AO恰好为△ADE的中线？若存在，求出△ADE的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：先根据交点和系数的关系，求得k的值，得出解析式，求出A的坐标，得出OA的长，在抛物线上是否存在D、E两点，使AO恰好为△ADE的中线，则D、E是中心对称点，设D（-a，b），则E（a，-b），联立方程求得D的坐标，即可求得△ADE的面积．

解答：解：存在；
设点A（x₁，0）、B（x₂，0），
由抛物线y=2x²+kx+1-2k（k为常数）可知，x₁+x₂=-

k

2

，x₁x₂=

1-2k

2

，开口向上，交于y轴的负半轴，
∴OA+OB=|x₁-x₂|，OC=2k-1，
∵（OA+OB）²-OC=

29

4

．
∴（OA+OB）²-OC=（x₁+x₂）²-4x₁x₂-（2k-1）=

29

4

，
即（-

k

2

）²-4（

1-2k

2

）-（2k-1）=

29

4

．解得，k=3或k=-11（不合题意舍去），
∴k=3，
∴抛物线为y=2x²+3x-5，
∴A（-

5

2

，0），B（1，0），
∵AO恰好为△ADE的中线，
∴D、E是中心对称点，
∴设D（-a，b），则E（a，-b），
代入y=2x²+3x-5，得

2a2-3a-5=b 2a2+3a-5=-b

，
解得

a= 10 2 b=- 3 10 2

或

a=- 10 2 b= 3 10 2

，
∴D（-

10

2

，

3 10

2

），E（

10

2

，-

3 10

2

），
∴△ADE的面积=2×

1

2

OA•

3 10

2

=

5

2

×

3 10

2

=

15 10

4

．

点评：本题考查了抛物线和x轴的交点问题，抛物线上点的坐标的特征，D、E是中心对称点，是本题的关键．