如图①所示.直线l:y=kx+5k与x轴负半轴.y轴正半轴分别交于A.B两点．(1)当OA=OB时.试确定直线l的解析式,的条件下.如图②所示.设Q为AB延长线上一点.连接OQ.过A.B两点分别作AM⊥OQ于M.BN⊥OQ于N.若BN=3.MN=7.求AM的长,(3)当k取不同的值时.点B在y轴正半轴上运动.分别以OB.AB为边在第一.第二象限作等腰直角△OBF和� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．如图①所示，直线l：y=kx+5k与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．
（1）当OA=OB时，试确定直线l的解析式；
（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，连接OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若BN=3，MN=7，求AM的长；
（3）当k取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由．

分析（1）要求直线解析式，就是要确定k的值，先求出A的坐标，再根据OA=OB即可求出k；
（2）先求出ON的长，再证明△AMO≌△ONB，得出对应边相等即可得出结果；
（3）通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长．

解答解：（1）∵直线L：y=kx+5k，
∴A（-5，0），B（0，5k），
由OA=OB得5k=5，k=1，
∴直线解析式为：y=x+5；
（2）∵∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠BON=90°，
∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠ONB=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，ON=$\sqrt{O{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴∠OAM=∠BON，
在△AMO和△OBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠BON}&{\;}\\{∠AMO=∠ONB}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△OBN（AAS），
∴AM=ON=4；
（3）PB的长为定值：PB=$\frac{5}{2}$；理由如下：
如图所示：作EK⊥y轴于K点；则∠BKE=90°，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠ABE=90°，
∴∠ABO+∠EBK=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBK，
在△ABO和△BEK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠EBK}&{\;}\\{∠AOB=∠BKE}&{\;}\\{AB=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BEK（AAS），
∴OA=BK，EK=OB，
∵OB=BF，
∴EK=BF，
在△PKE和△PBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EKP=∠FBP=90°}&{\;}\\{∠EPK=∠FPB}&{\;}\\{EK=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PKE≌△PBF（AAS），
∴PK=PB．
∴PB=$\frac{1}{2}$BK=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$．