Question

20．直线AB与CD交于O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF=65°，则∠BOE的度数65°或115°．

Answer 1

分析 根据题意，分两种情况：（1）∠BOE是锐角时；（2）∠BOE是钝角时；然后根据垂线的性质，分类讨论，求出∠BOE的度数是多少即可．

解答 解：（1）如图1，
，
∵直线OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠DOF=65°，
∴∠EOF=90°-65°=25°，
又∵直线OF⊥AB，
∴∠BOF=90°，
∴∠BOE=90°-25°=65°．

（2）如图2，
，
∵直线OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠DOF=65°，
∴∠EOF=90°-65°=25°，
又∵直线OF⊥AB，
∴∠BOF=90°，
∴∠BOE=90°+25°=115°．
综上，可得∠BOE的度数是65°或115°．
故答案为：65°或115°．

点评 （1）此题主要考查了垂线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）此题还考查了对顶角和邻补角的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．②补角互补，即和为180°．