Question

4．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x=2，且经过点A（3，0），根据图象解答下列问题：
（1）方程ax²+bx+c=0的两个根是1或3；
（2）不等式ax²+bx+c＞0的解集是x＜1或x＞3；
（3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＜2；
（4）若方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，且与y轴交于点C（0，3），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标，即为方程ax²+bx+c（a≠0）=0的根；
（2）观察图象可知，不等式ax²+bx+c＞0的解，就是抛物线的图象在x轴的上方部分；
（3）观察图象即可解决问题；
（4）方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，即直线y=k与抛物线y=x²-4x+3有两个交点，观察图象即可解决问题．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x=2，且经过点A（3，0），
∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴方程ax²+bx+c=0的两个根是1或3，
故答案为1或3．

（2）观察图象可知，不等式ax²+bx+c＞0的解集是x＜1或x＞3．
故答案为x＜1或x＞3．

（3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＜2．
故答案为x＜2．

（4）由题意易知抛物线的解析式为y=x²-4x+3，
∴顶点坐标（2，-1），
观察图象可知，方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，即直线y=k与抛物线y=x²-4x+3有两个交点，
∴k＞-1．

点评 本题考查二次函数与不等式、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象解决实际问题，属于中考常考题型．