Question

如图，AB为⊙O的直径，C为BA的延长线上一点，D为⊙O上一点，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若tan∠ADC=

1

2

，求sin∠E的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）如图，连接OD，证明∠CDO=90°问题即可解决；
（2）如图，作辅助线，首先证明△ADB∽△DMB，进而得到

AD

DB

=

DM

BM

；运用勾股定理结合正切的定义即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接OD；
∵OA=OD，OB=OD；
∴∠OAD=∠ODA，∠OBD=∠ODB；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠OAD+∠OBD=90°，
∴∠ODA+∠OBD=90°，
而∠CDA=∠CBD，
∴∠ODA+∠CDA=90°，
即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）如图，过点B、E分别作BM⊥DE，MN⊥BD，垂足为M、N．
∵CD为⊙O的切线，
∴∠ADM=∠BAD，而∠ADB=∠DMB，
∴△ADB∽△DMB，
∴

AD

DB

=

DM

BM

；
∵tan∠ADC=tan∠ABD=

AD

BD

=

1

2

，
∴

DM

BM

=

1

2

；
设DM=x，则BM=2x；
∵BE、DE是⊙O的切线，
∴BE=DE（设为y），
则ME=y-x；由勾股定理得：
y²=（y-x）²+（2x）²，
解得：y=

5x

2

，ME=

5x

2

-x=

3x

2

，
∴tan∠E=

2x

3x 2

=

4

3

，
即sin∠E的值为

4

3

．

点评：考查了切线的判定，该命题以圆为载体，以切线的判定、圆周角定理及其推论、相似三角形的判定及其应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．