Question

9．等腰△ABC中，过A作BC的垂线，垂足为D，且AD=$\frac{1}{2}$BC，则△ABC底角的度数为（　　）

• A． 45°
• B． 45°或75°
• C． 45°或15°或75°
• D． 45°或60°

Answer 1

分析 分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB=AC时，根据已知条件得出AD=BD=CD，从而得出△ABC底角的度数；当AB=BC时，先求出∠ABD的度数，再根据AB=BC，求出底角的度数；当AB=BC时，根据AD=$\frac{1}{2}$BC，AB=BC，得出∠DBA=30°，从而得出底角的度数．

解答 解：①如图1，当AB=AC时，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=BD=CD，
∴底角为45°；
②如图2，当AB=BC时，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ABD=30°，
∴∠BAC=∠BCA=75°，
∴底角为75°．
③如图3，当AB=BC时，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，AB=BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠DBA=30°，
∴∠BAC=∠BCA=15°；
∴△ABC底角的度数为45°或75°或15°．
故选C．

点评 本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论求解．