Question

17．细心观察图形，认真分析各式，然后回答问题：
（1）推算出OA₁₀的长和S₁₀的值．
（2）用含n（n为正整数）的式子表示上述规律．
（3）求S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值．

Answer 1

分析 （1）根据规律写出OA₁₀²，再根据算术平方根的定义解答；
（2）根据题中给出的得数即可得出结论；
（3）根据分析写出算式，然后利用求和公式列式计算即可得解．

解答 解：（1）∵OA₂²=（$\sqrt{1}$）²+1=2，
OA₃²=1²+（$\sqrt{2}$）²=3，
OA₄²=1²+（$\sqrt{3}$）²=4，
…，
∴OA₁₀²=10，
∴OA₁₀=$\sqrt{10}$；
∵S₁=$\frac{\sqrt{1}}{2}$，S₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…，
∴S₁₀=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；

（2）由（1）可知，OA_n=$\sqrt{n}$，S_n=$\frac{\sqrt{n}}{2}$；

（3）S₁²+S²₂+S²₃+…+S²₁₀
=$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$+…+$\frac{10}{4}$=$\frac{1}{4}$×（1+2+3+…+10）
=$\frac{1}{4}$×$\frac{10×（10+1）}{2}$
=$\frac{55}{4}$．

点评 本题考查了算术平方根，勾股定理，根据数字的变化规律，观察出被开方数的变化规律是解题的关键．