题目内容
14．理解计算：如图①，∠AOB=90°，∠AOC为∠AOB外的一个角，且∠AOC=30°，射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．求∠MON的度数；拓展探究：如图②，∠AOB=α，∠AOC=β．（α，β为锐角），射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．求∠MON的度数；
迁移应用：其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，如图③线段AB=m，延长线段AB到C，使得BC=n，点M，N分别为AC，BC的中点，则MN的长为$\frac{1}{2}$m（直接写出结果）．
分析 （1）根据角的平行线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论；
（2）根据角的平行线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论；
（3）根据（2）的原理，可直接得出结论．
解答 解：（1）∵∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+30°=120°，
射线OM平分∠BOC，
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∵ON平分∠AOC，
∴∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴∠MON=∠COM-∠CON=60°-15°=45°．
（2）∵∠BOC=∠AOB+∠AOC=α+β，
∵射线OM平分∠BOC，
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$（α+β），
∵ON平分∠AOC，
∴∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$β，
∴∠MON=∠COM-∠CON=$\frac{1}{2}$（α+β）-$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$α．
（3）∵AB=m，BC=n，
∴AC=AB+BC=m+n，
∵点M，N分别为AC，BC的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（m+n），CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$n，
∴MN=CM-CN=$\frac{1}{2}$m．
故答案为：$\frac{1}{2}$m．
点评 本题考查的是角的计算，解题的关键是明白角平分线的特点，根据此特点结合角与角间的数量关系即可得出结论．
练习册系列答案
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2．
在45°的Rt△ABC中，∠A=90°，DE⊥BC，BD是∠ABC的平分线，且BD=13，AB=12，则△DEC的周长为（ ）
在45°的Rt△ABC中，∠A=90°，DE⊥BC，BD是∠ABC的平分线，且BD=13，AB=12，则△DEC的周长为（ ）| A． | 10$\sqrt{2}$ | B． | 5+$\sqrt{2}$ | C． | 10+$\sqrt{2}$ | D． | 17 |
9．等腰△ABC中，过A作BC的垂线，垂足为D，且AD=$\frac{1}{2}$BC，则△ABC底角的度数为（ ）
| A． | 45° | B． | 45°或75° | C． | 45°或15°或75° | D． | 45°或60° |
如图，在△ABC中，∠ABC=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE=24°．