Question

17．某地政府计划为农户购买农机设备提供补贴．其中购买Ⅰ型、Ⅱ型设备农民所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系．

型号 金额	Ⅰ型设备		Ⅱ型设备
投资金额x（万元）	x	5	x	2	4
补贴金额y（万元）	y1=kx（k≠0）	2	y2=ax2+bx（a≠0）	2.8	4

（1）分别求y₁和y₂的函数解析式；
（2）有一农户共投资10万元购买Ⅰ型、Ⅱ型两种设备，两种设备的投资均为整数万元，要想获得最大补贴金额，应该如何购买？能获得的最大补贴金额为多少？

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法直接就可以求出y₁与y₂的解析式．
（2）设总补贴金额为W万元，购买Ⅱ型设备a万元，购买Ⅰ型设备（10-a）万元，建立等式就可以求出其值．

解答 解：（1）设购买Ⅰ型设备补贴的金额的解析式为：y₁=kx，购买Ⅱ型设备补贴的金额的解析式为y₂=ax²+bx，
由题意，得：2=5k，或$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=2.8}\\{16a+4b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{2}{5}$，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{5}}\\{b=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$，
∴y₁的解析式为：y₁=$\frac{2}{5}$x，y₂的函数解析式为：y₂=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{9}{5}$x．

（2）设投资Ⅱ型设备a万元，Ⅰ型设备（10-a）万元，补贴金额为W万元：
所以W=y₁+y₂=$\frac{2}{5}$（10-a）+（-$\frac{1}{5}$a²+$\frac{9}{5}$a）
=-$\frac{1}{5}$（a-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{129}{20}$
所以当a=3或4时，W的最大值=$\frac{32}{5}$，所
以投资Ⅰ型设备7万元，Ⅱ型设备3万元；或投资Ⅰ型设备6万元，Ⅱ型设备4万元，获得最大补贴金额，最大补贴金额为$\frac{32}{5}$万元．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，抛物线的顶点式的运用．在求解析式中，待定系数法时常用的方法．二次函数的一般式化顶点式是求最值的常用方法．