Question

14．如图1，在边长为3的正方形ABCD中，直角∠MAN的两边AM、AN重叠在正方形的两邻边上，现将直角∠MAN绕顶点A旋转．
（1）如图2，AM与边长BC相交于点E，AN与边长CD的延长线相交于点F，求证：BE=DF；
（2）如图3，AM、AN与BC、CD的延长线分别相交于点E、F，AM与CD相交于点P，求△APF与△CPE面积的差；
（3）若AM、AN与直线BD分别相交于点G、H，且BG=$\sqrt{2}$，求DH的长．

Answer 1

分析 （1）利用全等三角形的判定和性质证明△ABE与△ADF全等，即可得到BE=DF；
（2）利用①的结论和三角形面积的关系进行证明即可；
（3）由勾股定理求出BD，证明△BEG∽△DAG，得出$\frac{BE}{AD}=\frac{BG}{DG}$=$\frac{1}{2}$，求出$\frac{DF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，证明△DFH∽△BAH，得出$\frac{DH}{BH}=\frac{DF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，因此DH=$\frac{1}{2}$BH，即可得出DH=BD=3$\sqrt{2}$．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=AD=3，∠BAD=∠B=∠ADC=∠ADF=90°，
∵∠MAN=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∴在△ABE与△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAF}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\\{∠B=∠ADF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE=DF；
（2）解：同（1）可证：BE=DF，
连接AC，如图所示：
S_△APF-S_△CPE=S_△ACF-S_△ACE
=$\frac{1}{2}$CF•AD-$\frac{1}{2}$CE•AB=$\frac{3}{2}$（CF-CE）
=$\frac{3}{2}$[CD+DF-（BE-BC）]
=$\frac{3}{2}$（CD+BC）=9；
（3）解：∵∠BAD=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵BG=$\sqrt{2}$，
∴DG=BD-BG=2$\sqrt{2}$，
∵AD∥BC，
∴△BEG∽△DAG，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{BG}{DG}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=AD，BE=DF，
∴$\frac{DF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB∥CD，
∴△DFH∽△BAH，
∴$\frac{DH}{BH}=\frac{DF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴DH=$\frac{1}{2}$BH，
∴DH=BD=3$\sqrt{2}$．

点评 此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．