Question

13．已知：如图，数轴的单位长度为a，在△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．
（1）用直尺和圆规作出△ABC，使点A、C在数轴上（要求：保留痕迹，指出所求）；
（2）记△ABC的外接圆的面积为S_圆，△ABC的面积为S_△ABC，求证：$\frac{{S}_{圆}}{{S}_{△ABC}}$＞π．

Answer 1

分析 （1）在数轴上截取线段AC=5a，分别以A、C为圆心，3a、4a为半径画弧，两弧交于点B，△ABC即为所求．
（2）分别求出△ABC外接圆面积，△ABC面积即可解决问题．

解答 解；（1）下图中，△ABC即为所求．

（2）证明：如图2中，

∵AC=5a，AB=3a，BC=4a，
∴AC²=AB²+BC²，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC外接圆的直径就是AC，
∴S_圆=π•（$\frac{AC}{2}$）²=（$\frac{5a}{2}$）²π=$\frac{25{a}^{2}}{4}$π．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=6a²，
∴$\frac{{S}_{圆}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{25{a}^{2}}{4}π}{6{a}^{2}}$=$\frac{25}{24}$π＞π．

点评 本题考查尺规作图、勾股定理逆定理、数轴、三角形外接圆等知识，解题的关键是判断△ABC是直角三角形，属于中考常考题型．