Question

2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE⊥CE于E，∠AOD=60°，CD=2$\sqrt{3}$，则S_阴影=（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2}{3}$π
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$-2π
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$-π

Answer 1

分析 连接AD，证出△AOD是等边三角形，得出∠OAD=60°，AD=OD，由垂径定理得出CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，AC=AD，由三角函数求出AD=OD=2，∠CAD=120°，求出AE=$\frac{1}{2}$AD=1，DE=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$，证出CE∥OD，得出四边形AODE是梯形，阴影部分的面积=梯形的面积-扇形的面积，即可得出结果．

解答 解：连接AD，如图所示：
∵∠AOD=60°，OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，AD=OD，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠AOD=30°，∠ODC=90°-60°=30°，
∴AD=OD=$\frac{DF}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，∠CAD=120°，
∴∠DAE=60°，
∵DE⊥CE，
∴∠ADE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=1，DE=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$，
∵∠ODE=30°+60°=90°，
∴OD⊥DE，
∴CE∥OD，
∴四边形AODE是梯形，
∴S_阴影=$\frac{1}{2}$（1+2）×$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2}{3}$π；
故选：A．

点评 本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、扇形面积的计算、梯形的判定等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解决问题的关键．