Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=9cm，DE=3cm，则BC=12cm．

Answer 1

分析 过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G，由直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半可知BF=4.5，DG=1.5，然后由等腰三角形三线合一可知AH⊥BC，BH=CH，然后再证明四边形DGFH是矩形，从而得到FH=GD=1.5，最后根据BC=2BH计算即可．

解答 解；过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G．

∵EF⊥BC，∠EBF=60°，
∴∠BEF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×9=4.5$，
∵∠BED=60°，∠BEF=30°，
∴∠DEG=30°．
又∵DG⊥EF，
∴GD=$\frac{1}{2}ED=\frac{1}{2}×3=1.5$，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，且BH=CH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，DG⊥EF，
∴四边形DGFH是矩形．
∴FH=GD=1.5．
∴BC=2BH=2×（4.5+1.5）=12．
故答案为：12．

点评 本题主要考查的是等腰三角形的性质，含30°直角三角形的性质以及矩形的性质和判定，根据题意构造含30°的直角三角形是解题的关键．