Question

4．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），直线y=kx+1与抛物线相交于A、C两点
（1）求抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c和直线AC的解析式；
（2）以AC为直径的圆与y轴交于两点M、N，求M、N两点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，△ACP的内心也在对称轴上，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求得即可；
（2）联立方程求得C点的坐标，进而求得圆心D的坐标，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得；
（3）求得抛物线的对称轴，然后作CG⊥y轴，交对称轴与G，设对称轴与x轴交于H，由题意可知∠APH=∠CPG，从而证得△APH∽△CPG，得出$\frac{AH}{PH}$=$\frac{CG}{PG}$，设P的坐标为（1，a），则AH=2，PH=-a，CG=4，PG=6-a，根据相似三角形对应边成比例即可求得a的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-b+c=0}\\{\frac{9}{2}+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}{x^2}-x-\frac{3}{2}$，
∵直线y=kx+1经过点A（-1，0），
∴-k+1=0，解得k=1，
∴直线AC的解析式为y=x+1；
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴A（-1，0），C（5，6），
∴圆心D的坐标为（2，3），AC=$\sqrt{（5+1）^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
作DE⊥y轴于E，则DE=2，连接DM，则DM=3$\sqrt{2}$，
∴EM=$\sqrt{D{M}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{14}$，
∴M（0，3+$\sqrt{14}$），N（0，3-$\sqrt{14}$）
（3）作CG⊥y轴，交对称轴与G，设对称轴与x轴交于H，
由题意可知∠APH=∠CPG，
∴△APH∽△CPG，
∴$\frac{AH}{PH}$=$\frac{CG}{PG}$，
∵抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}{x^2}-x-\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2
∴抛物线的对称轴为x=1，
设P的坐标为（1，a），
∴AH=2，PH=-a，CG=4，PG=6-a，
∴$\frac{2}{-a}$=$\frac{4}{6-a}$，解得a=-6，
∴P（1，-6）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，垂径定理和勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，（3）根据内心的性质得出∠APH=∠CPG是解题的关键．