Question

10．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，点P是边AD上的动点，∠PBQ=60°，BQ交边CD于点Q，过点Q作BC的平行线交BD于点E．设AP=x时，图中两阴影部分面积的差为y（即y=S_△BQC-S_△BPE），则y与x之间的函数关系式是（　　）

• A． $y=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{x^2}+\sqrt{3}$
• B． $y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x^2}+2\sqrt{3}$
• C． $y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x^2}+2\sqrt{3}x$
• D． $y=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{x^2}+\sqrt{3}x$

Answer 1

分析 过点E作EF⊥AD于点F，根据菱形的性质结合∠A=60°，即可得出△ABD和△BCD均为边长为4的等边三角形，由∠PBQ=60°可得出∠ABP=∠DBQ，结合AB=DB及∠ABD=∠PBQ，即可证出△ABP≌△DBQ（ASA），从而得出y=S_△PED、DQ=x，再利用等边三角形的性质以及三角形的面积公式即可求出y与x之间的函数关系式．

解答 解：过点E作EF⊥AD于点F，如图所示．
∵菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，
∴△ABD和△BCD均为边长为4的等边三角形，
∴∠A=∠BDQ=∠ABD=60°．
∵∠ABD=∠PBQ=60°，
∴∠ABP=∠DBQ．
在△ABP和△DBQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BDQ}\\{AB=DB}\\{∠ABP=∠DBQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴AP=DQ=x，DP=AD-AP=4-x，y=S_△BQC-S_△BPE=S_△PED．
∵QE∥BC，
∴DE=DQ=x，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
∴y=$\frac{1}{2}$DP•EF=$\frac{1}{2}$（4-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x．
故选D．

点评 本题考查了菱形的性质、平行线的性质、等边三角形的性质以及三角形的面积，结合图形找出y=S_△PED、DE=x是解题的关键．