Question

12．如图，将△ABC 沿点C按逆时针方向旋转至△A′B′C′，使B′C⊥AB，A′B′分别交AC，AB于点D，E，已知∠ACB=90°，AC=4，BC=3，则DE的长为1.5．

Answer 1

分析 由旋转的性质得到A′C=AC=4，B′C=BC=3，∠A′CB′=∠ACB=90°，∠B=∠B′，根据勾股定理得到A′B′=5，证得∠A=∠AED，由等腰三角形的判定得到AD=DE，求得A′D=CD，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵将△ABC 沿点C按逆时针方向旋转至△A′B′C′，
∴A′C=AC=4，B′C=BC=3，∠A′CB′=∠ACB=90°，∠B=∠B′，
∴A′B′=5，
∵B′C⊥AB，
∴∠B′EB=∠A，
∵∠AED=∠B′EB，
∴∠A=∠AED，
∴AD=DE，
∵∠A=∠A′，∠ADE=∠A′DC，
∴∠A′=∠A′CD，
∵∠A′+∠B′=∠A′CD+∠DCB′=90°，
∴∠B′=∠DCB′，
∴CD=DB′，
∴A′D=CD=DB′，
∵∠A′CB′=∠ACB=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$A′B′=2.5，
∴DE=AD=1.5．

点评 本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．