Question

9．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线BD为边作菱形BEFD，点C、E、F在同一直线上，则CE=$\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 首先过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G，即可得△ECG是等腰直角三角形，然后设EG=CG=x，在Rt△BEG中，由BE²=BG²+EG²，可得方程：（$\sqrt{2}$）²=（1+x）²+x²，解此方程即可求得EG的长，继而求得CE的长．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为1，BD为对角线，BEFD为菱形，
∴BD=BE=EF=DF=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∵BD∥EF，
∴∠ECG=∠DBC=45°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∴EG=CG，
设EG=x，
则BG=BC+CG=1+x，
在Rt△BEG中，BE²=BG²+EG²，
即（$\sqrt{2}$）²=（1+x）²+x²，
即2x²+2x-1=0，
解得：x=$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$或x=-$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{2}$（舍去），
∴EG=$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CE=$\sqrt{2}$EG=$\sqrt{2}$（$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 此题考查了正方形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识．注意掌握辅助线的作法，数形结合与方程思想的应用是解答此题的关键．