Question

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-2）²-2与y轴交于点A（0，1），直线AB∥x轴交抛物线于点B，点P是直线AB上一点（不与A、B重合），PQ∥y轴交抛物线于点Q，以PQ为斜边向左作等腰直角三角形PQM，设点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）当线段PQ被x轴平分时，求m的值．
（3）当等腰直角三角形PQM夹在x轴与直线AB之间的图形为轴对称三角形时，求m的取值范围．
（4）直接写出当等腰直角三角形PQM的两条直角边与坐标轴有两个公共点时m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将A点坐标代入解析式直接求出a；
（2）由P、Q关于x轴对称，且横坐标相同可设出Q点坐标，代入抛物线解析式中，即可直接求出m的值；
（3）找到两个临界点：当Q点刚好在x轴上时；当M点刚好在x轴上时．算出这个两个临界状态时的m值，即可确定符合要求的m的取值范围；
（4）等腰直角三角形PQM的两条直角边与坐标轴有两个公共点，也就是y轴同时与两直角边相交，所以只需算出M点恰好在y轴上的临界状态时的m值即可．

解答 解：（1）把A（0，1）代入y=a（x-2）²-2中，得1=a（0-2）²-2，
∴a=$\frac{3}{4}$，
∴y=$\frac{3}{4}$（x-2）²-2，
（2）设Q（m，-1），
则-1=$\frac{3}{4}$（m-2）²-2，
∴m₁=2+$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，m₂=2-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$．
（3）当点Q落在x轴上时，PQ=1，
∴1-[$\frac{3}{4}$（m-2）²-2]=1，
∴m₁=2-$\frac{2}{3}\sqrt{6}$，m₂=2+$\frac{2}{3}\sqrt{6}$，
∴当0＜m≤2-$\frac{2}{3}\sqrt{6}$或2-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$≤m≤2+$\frac{2}{3}\sqrt{3}$或2+$\frac{2}{3}\sqrt{6}$≤m＜4，为轴对称三角形，
（4）当M点刚好在y轴上时：$\frac{1}{2}$|1-[$\frac{3}{4}$（m-2）²-2]|=m，
解得：m=$\frac{4}{3}$或m=$\frac{20}{3}$，
由图象可知，当等腰直角三角形PQM的两条直角边与坐标轴有两个公共点时m的取值范围
∴2-$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$＜m＜$\frac{4}{3}$或m＞$\frac{20}{3}$．

点评 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的性质、线段长度的坐标表示、解一元二次方程、轴对称图形等知识点，难度中等．本题巧妙地将动态几何与二次函数结合，具有较强的综合性，对学生的分析能力、想象力提出了较高要求．解答过程中，找准临界状态并正确列出方程是关键．