Question

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y₁=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$（m为常数，且m≠0）的图象交于A（-2，1），B（1，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当y₁＜y₂＜0时，自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值，从而得出反比例函数解析式；再由点B在反比例函数图象上，即可求出n值，根据A、B点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）令一次函数解析式中x=0，求出y值，即可得出点C的坐标，从而得出OC的长，再利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式即可求出S_△AOB的值；
（3）观察两函数图象，根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标即可找出不等式y₁＜y₂＜0的解集．

解答 解：（1）∵反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$（m为常数，且m≠0）的图象过点A（-2，1），
∴m=-2×1=-2，
∴反比例函数解析式为y₂=-$\frac{2}{x}$；
∵点B（1，n）在反比例函数y₂=-$\frac{2}{x}$的图象上，
∴n=-2，即点B（1，-2）．
将点A（-2，1）、B（1，-2）代入到y₁=ax+b（a，b为常数，且a≠0）中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{1=-2a+b}\\{-2=a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y₁=-x-1．
（2）令y₁=-x-1中x=0，则y=-1，
∴点C（0，-1），OC=1．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（x_B-x_A）=$\frac{1}{2}$×1×[1-（-2）]=$\frac{3}{2}$．
（3）观察函数图象，发现：
在x轴的下方，当x＞1时，一次函数图象在反比例函数图形的下方，
∴当y₁＜y₂＜0时，自变量x的取值范围为x＞1．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用分割图形法求三角形面积；（3）根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．