Question

20．已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，
PE=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）是否存在点P使△PEF是Rt△？若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，根据三角函数可求y与x的函数关系式；
（2）分三种情况：①如图1，当∠FPE=90°时，②如图2，当∠PFE=90°时，③当∠PEF=90°时，进行讨论可求x的值．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，
∴sinC=$\frac{1}{2}$，
∵PE⊥BC于点E，
∴sinC=$\frac{PE}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∵PC=x，PE=y，
∴y=$\frac{1}{2}$x（0＜x＜20）；
（2）存在点P使△PEF是Rt△，
①如图1，当∠FPE=90°时，四边形PEBF是矩形，BF=PE=$\frac{1}{2}$x，
四边形APEF是平行四边形，PE=AF=$\frac{1}{2}$x，
∵BF+AF=AB=10，
∴x=10；
②如图2，当∠PFE=90°时，Rt△APF∽Rt△ABC，
∠ARP=∠C=30°，AF=40-2x，
平行四边形AFEP中，AF=PE，即：40-2x=$\frac{1}{2}$x，
解得x=16；
③当∠PEF=90°时，此时不存在符合条件的Rt△PEF．
综上所述，当x=10或x=16，存在点P使△PEF是Rt△．

点评 考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的性质，解直角三角形，注意分类思想的运用，综合性较强，难度中等．