Question

8．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BD⊥AC，垂足为P．
（1）请作出Rt△ABC的外接圆⊙O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）点D在⊙O上吗？说明理由；
（3）试说明：AC平分∠BAD．

Answer 1

分析 （1）作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点O，以OB为半径作⊙O即可；
（2）连结OD，先判断AC是⊙O的直径，而∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得OD=$\frac{1}{2}$AC，即OD=OA，于是根据点与圆的位置关系可判断点D在⊙O上；
（3）由于AC是⊙O的直径，BD⊥AC，根据垂径定理得BC=CD，则$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，然后根据圆周角定理可得∠BAC=∠DAC．

解答 解：（1）如图，⊙O为所作；


（2）点D在⊙O上．理由如下：
连结OD，
∵∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵∠ADB=90°，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC，即OD=OA，
∴点D在⊙O上；

（3）∵AC是⊙O的直径，BD⊥AC，
∴BC=CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC平分∠BAD．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外心．