Question

6．如图，在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB₁C₁，再以对角线OB₁为边作第三个正方形OB₁B₂C₂，…，照此规律作下去，则点B₆的坐标为（8，-8）．

Answer 1

分析 根据勾股定理求出OB的长度，利用正方形的每一条对角线都把它分成两个全等的等腰直角三角形得出B的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，都逆时针旋转45°，边长都乘以$\sqrt{2}$，所以可求出点B₆的坐标．

解答 解：∵四边形OABC是一个边长为1的正方形，
∴OB=$\sqrt{2}$，B（1，1），
∵正方形的每一条对角线都把它分成两个全等的等腰直角三角形，
∴OB₁=$\sqrt{2}$OB=2=（$\sqrt{2}$）²，
∴OB₂=$\sqrt{2}$OB₁=2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$）³，B₂（-2，2），
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都逆时针旋转45°，边长都乘以$\sqrt{2}$，
∴点B₆在第四象限的角平分线上，
∵OB₆=（$\sqrt{2}$）⁷，
∴点B₆的横坐标是$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\sqrt{2}$）⁷=8，纵坐标是-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\sqrt{2}$）⁷=-8，
∴点B₆的坐标为（8，-8）．
故答案为：（8，-8）．

点评 本题主要考查正方形的性质和点的坐标，解答本题的关键是看出每经过一次变化，点B_i都逆时针旋转45°，边长OB_i都扩大$\sqrt{2}$倍．