Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（3a，2a）在第一象限，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，连接OA，S_△AOB=12，点M从O出发，沿y轴的正半轴以每秒2个单位长度的速度运动，点N从点B出发以每秒3个单位长度的速度向x轴负方向运动，点M与点N同时出发，设点M的运动时间为t秒，连接AM，AN，MN．
（1）求a的值；
（2）当0＜t＜2时，
①请探究∠ANM，∠OMN，∠BAN之间的数量关系，并说明理由；
②试判断四边形AMON的面积是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由．
（3）当OM=ON时，请求出t的值．

Answer 1

分析 （1）根据△AOB的面积列出方程即可解决问题；
（2）当0＜t＜2时①∠ANM=∠OMN+∠BAN．如图2中，过N点作NH∥AB，利用平行的性质证明即可．②根据S_{四边形AMON}=S_{四绞刑ABOM}-S_△ABN，计算即可；
（3）分两种情形列出方程即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

∵S_△AOB=12，A（3a，2a），
∴$\frac{1}{2}$×3a×2a=12，
∴a²=4，
又∵a＞0，
∴a=2．

（2）当0＜t＜2时
①∠ANM=∠OMN+∠BAN，原因如下：
如图2中，过N点作NH∥AB，

∵AB⊥X轴
∴AB∥OM
∴AB∥NH∥OM
∴∠OMN=∠MNH
∠BAN=∠ANH
∴∠ANM=∠MNH+∠ANH
=∠OMN+∠BAN．

②S_{四边形AMON}=12，理由如下：
∵a=2
∴A（6，4）
∴OB=6，AB=4，OM=2t BN=3t
ON=6-3t
∴S_{四边形AMON}=S_{四绞刑ABOM}-S_△ABN，
=$\frac{1}{2}$（AB+OM）×OB-$\frac{1}{2}$×BN×AB
=$\frac{1}{2}$（4+2t）×6-$\frac{1}{2}$×3t×4
=12+6t-6t
=12   
∴四边形AMON的面积不变

（3）∵OM=ON
∴2t=6-3t或2t=3t-6
∴t=$\frac{6}{5}$或6．

点评 本题考查三角形综合题、平行线的性质、四边形的面积、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．