Question

17．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接BP、CP，将△BCP绕点B逆时针旋转至△BAP′，连接AP、PP′，AP′⊥PP′，BP=4，CP=2，求AP的长．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=90°，根据旋转的性质得到BP′=BP=4，∠P′BA=∠PBC，AP′=CP=2，根据余角的性质得到∠P′BP=90°，根据勾股定理得到PP′=4$\sqrt{2}$，由勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵将△BCP绕点B逆时针旋转至△BAP′，
∴BP′=BP=4，∠P′BA=∠PBC，AP′=CP=2，
∴∠P′BA+∠ABP=∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠P′BP=90°，
∴PP′=4$\sqrt{2}$，
∵AP′⊥PP′，
∴AP=$\sqrt{AP{′}^{2}+PP{′}^{2}}$=6．

点评 本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形、勾股定理等知识点，熟练运用这些性质、定理得△PP′B是等腰直角三角形是解题关键．