Question

16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是32cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ABC是等边三角形，解直角三角形OAB即可解决问题；
（2）菱形的面积等于对角线乘积的一半；

解答 解：（1）菱形ABCD的周长为32cm，
∴菱形的边长为32÷4=8cm
∵∠ABC：∠BAD=1：2，∠ABC+∠BAD=180°（菱形的邻角互补），
∴∠ABC=60°，∠BCD=120°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=8cm，
∵菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，
∴AO=CO，BO=DO且AC⊥BD，
∴BO=4$\sqrt{3}$cm，
∴BD=8$\sqrt{3}$cm；

（2）菱形的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×8×8$\sqrt{3}$=32$\sqrt{3}$（cm²）．

点评 本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是证明△ABC是等边三角形，属于中考常考题型．