Question

4．如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E．
（1）判断△CED的形状，并说明理由；
（2）若OC=3，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）△CED为等边三角形，理由如下：由OC为角平分线及∠AOB度数求出∠AOC与∠COE度数，再由CE与OA平行，得到一对内错角相等，再由CD与OC垂直，求出∠ECD度数，利用三个内角相等的三角形为等边三角形即可得证；
（2）由△CED为等边三角形，得到三边相等，利用等角对等边得到OE=CE，进而得到OE=CE=DE，设CD=x，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到OD=2x，再由OC的长，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出CD的长．

解答 解：（1）△CED是等边三角形，理由如下：
∵OC平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠AOC=∠COE=30°，
∵CE∥OA，
∴∠AOC=∠COE=∠OCE=30°，∠CED=60°，
∵CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，
∴∠EDC=60°，
∴△CED是等边三角形；                                             

（2）∵△CED是等边三角形，
∴CD=CE=ED，
又∵∠COE=∠OCE，
∴OE=EC，
∴CD=ED=OE，
设CD=x，则OD=2x，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得：x²+9=4x²，
解得：x=$\sqrt{3}$，
则CD=$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．