Question

10．作图与计算：在所给图中仅用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作Rt△ABC的外接圆，圆心为O；
（2）以AB为对称轴，作点C的对称点为C′，CC′交AB于E；
（3）当BC=1，AC=2时，计算Rt△ABC绕直线AB旋转一周形成的几何体的侧面积．

Answer 1

分析 （1）作出AB的中点，就是圆心O；
（2）过C作CE⊥AB于点E，然后截取C′E=CE，则C′即为所求；
（3）由AC与BC的长，利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形ABC面积的两种求法求出斜边AB边上的高CE的长，将△ABC绕AB所在直线旋转一周，得到一个几何体为两底面重合的圆锥，底面半径都为CE，母线分别为AC与BC，其表面积即为两圆锥的侧面积，利用侧面积公式求出即可．

解答 解：（1）点O就是所求的点；
（2）点C′，E就是所求的点；
（3）在直角△ABC中，AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴所求几何体的表面积S=π•CE•AC+π•CE•BC=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$π．

点评 此题考查了作图-复杂作图，垂径定理，勾股定理，以及圆锥的侧面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．