Question

如图，抛物线解析式是y=-x²+bx（b＞0），是否以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：代数几何综合题,数形结合,待定系数法

分析：由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA=OB，又AO=BO，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．

解答：解：存在
如图，
作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．
当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形，
又∵AO=AB，AO=BO，
∴△OAB为等边三角形．
∴∠AOB=60°，
作AE⊥OB，垂足为E，
∴AE=OEtan∠AOB=

3

OE．
∴

b2

4

=

3

•

b

2

（b＞0）．
∴b=2

3

．
∴A（

3

，3），B（2

3

，0）．
∴C（-

3

，-3），D（-2

3

，0）．
设过点O、C、D的抛物线为y=mx²+nx，则

12m- 2 3 n=0 3m- 3 n=-3

，
解得

m=1 n=2 3

．
故所求抛物线的表达式为y=x²+2

3

x．

点评：此题考查二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，重在考查基础知识的掌握情况．