Question

4．（1）如图1，等腰△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PM+PN等于△ABC的腰上的高．
（2）如图2，矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，P为BC边上任一点，PM⊥BD于点M，PN⊥AC于点N，且PM=1cm，求PN的长．
（3）已知：直线l₁：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，l₂：y=-（$\sqrt{3}$+2）x+2，若l₂上一点A到l₁的距离为AB=1，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）过B作BD⊥AC，连接AP，由S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP可证得PM+PN=BD；
（2）连接OP，过O作OE⊥BC于点E，则可求得OE=$\frac{1}{2}$D=1.5，根据勾股定理及矩形的性质可求得OC=OB=2.5，再由S_△OBC=S_△OBP+S_△OCP，代入可求得PN；
（3）作AH⊥CD于H，连接CA，设直线l₁交x轴于点C，l₂交x轴于点D，由题目可知两直线过点E（0，2），根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）如图1，作BD⊥AC于D，连接AP，
∵S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP，
∴$\frac{1}{2}$×AC×BD=$\frac{1}{2}$×AB×PM+$\frac{1}{2}$×AC×PN，又AB=AC，
∴PM+PN=BD，
即PM+PN等于△ABC的腰上的高；
（2）如图2，连接OP，过O作OE⊥BC于点E，
则OE=$\frac{1}{2}$D=1.5，
∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，
∴AC=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC=2.5，
∵S_△OBC=S_△OBP+S_△OCP，
∴$\frac{1}{2}$×BC×OE=$\frac{1}{2}$×OB×PN+$\frac{1}{2}$×OC×PN，即4×1.5=2.5×1+2.5×PN，
解得，PN=1.4；
（3）如图3，作AH⊥CD于H，连接CA，
$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2=0时，x=-2$\sqrt{3}$，
则直线l₁与x轴的交点C的坐标为（-2$\sqrt{3}$，0），即OC=2$\sqrt{3}$，
-（$\sqrt{3}$+2）x+2=0时，x=4-2$\sqrt{3}$，
则l₂与x轴的交点D的坐标为（4-2$\sqrt{3}$，0），即OD=4-2$\sqrt{3}$，
∴CD=4，又OE=2，
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=4，
∵S_△ECD=S_△ECA+S_△DCA，
∴$\frac{1}{2}$×DC×OE=$\frac{1}{2}$×CE×AF+$\frac{1}{2}$×CD×AH，即4×2=4×1+4×AH，
解得，AH=1，
-（$\sqrt{3}$+2）x+2=1，
x=2-$\sqrt{3}$，
则点A的坐标为（2-$\sqrt{3}$，1）．

点评 本题考查的是一次函数的性质、一次函数与坐标轴的交点的求法，掌握矩形的性质、等腰三角形的性质、灵活运用勾股定理是解题的关键．