Question

6．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC²+BC²=AC²，即四边形ABCD是勾股四边形．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；
（2）利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．

解答 解：（1）∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形；
（2）∵△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC²+CE²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²．
即四边形ABCD是勾股四边形．

点评 此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目．解决本题的关键是证明△BCE是等边三角形．