Question

18．抛物线y=x²+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？

Answer 1

分析 （1）把A（0，2），B（3，2）两点代入抛物线y=x²+bx+c即可得到结果；
（2）存在，由已知条件得AB∥x轴，根据平行四边形的性质对边相等列方程即可求得结果；
（3）设t秒钟时，B、D、E在同一条直线上，则OE=t，OD=2t，设直线BD的解析式为：y=kx+b，把B，D，E三点代入，解方程组即可得到答案．

解答 解：（1）抛物线y=x²+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{2=9+3b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²-3x+2，
令y=0，则x²-3x+2=0，
解得：x₁=1，x₂=2，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（2，0）；

（2）存在，由已知条件得AB∥x轴，
∴AB∥CD，
∴当AB=CD时，
以A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形，
设D（m，0），
当C（1，0）时，则CD=m-1，
∴m-1=3，
∴m=4，
当C（2，0）时，则CD=m-2，
∴m-2=3，
∴m=5，
∴D（5，0），
综上所述：当D（4，0）或（5，0）时，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形；

（3）设t秒钟时，B、D、E在同一条直线上，则OE=t，OD=2t，
∴E（0，t），D（2t，0），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t=b}\\{2=3k+b}\\{0=2tk+b}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$或k=$\frac{2}{3}$（不合题意舍去），
∴当k=-$\frac{1}{2}$，t=$\frac{7}{2}$，
∴点D、E运动$\frac{7}{2}$秒钟时，B、D、E在同一条直线上．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意，把握数量之间的关系是解题的关键．