Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD=（　　）

• A． 4
• B． 4$\sqrt{5}$-4
• C． -4$\sqrt{5}$+4
• D． 4$\sqrt{5}$-4或-4$\sqrt{5}$+4

Answer 1

分析 先根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算出图中各角的度数，易得AD=BD=BC，再证明△ABC∽△BCD，根据相似的性质得AC：BC=BC：CD，则AC：AD=AD：CD，然后根据黄金分割点的定义计算．

解答 解：∵AB=AC=8，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，
∴∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC：BC=BC：CD，
∴AC：AD=AD：CD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×8=4（$\sqrt{5}-1$）=4$\sqrt{5}-4$．
故选B．

点评 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB．并且线段AB的黄金分割点有两个．