Question

10．如图，点A为双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上一动点，直线OA与双曲线y=$\frac{18}{x}$（x＞0）交于点B，点C（9，0），连CB交双曲线y=$\frac{18}{x}$（x＞0）于点D，连OD交双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）于点E，若S_△AOC=6S_△ACE，则点A坐标为（$\frac{9}{7}$，$\frac{14}{9}$）．

Answer 1

分析 设A（a，$\frac{2}{a}$）（a＞0），得B（3a，$\frac{6}{a}$），则$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{3}$，可得AG∥BC，由OC=9，得OG=3，根据同底边三角形的面积比等于对应高的比可知：即S_△ACG=2S_△AOG，S_△AEC=2S_△AOE，
证明得$\frac{AE}{AG}$=$\frac{1}{4}$，由△EMG∽△AHG，得EM=$\frac{3}{2a}$，设MG=3b，GH=4b，列方程组可得结论．

解答 解：设A（a，$\frac{2}{a}$）（a＞0），
设直线OA的解析式为：y=kx（k≠0），
$\frac{2}{a}$=ak，
k=$\frac{2}{{a}^{2}}$，
∴直线OA的解析式为：y=$\frac{2}{{a}^{2}}$x，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{{a}^{2}}x}\\{y=\frac{18}{x}}\end{array}\right.$，
$\frac{18}{x}$=$\frac{2x}{{a}^{2}}$，
x=±3a，
∵B在第一象限，
∴B（3a，$\frac{6}{a}$），
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{3}$，
延长AE交x轴于G，
同理得：$\frac{OE}{OD}=\frac{OG}{OC}=\frac{1}{3}$，
∴AG∥BC，
∵OC=9，
∴OG=3，
过O作OP⊥AG于P，过C作CQ⊥AG于Q，
∴OP∥CQ，
∴$\frac{OP}{CQ}=\frac{OG}{GC}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△ACG}}{{S}_{△AOG}}$=2，即S_△ACG=2S_△AOG，
同理得：S_△AEC=2S_△AOE，
∵S_△AOC=6S_△ACE，
∴3S_△AOG=6×2S_△AOE，
S_△AOG=4S_△AOE，
∴$\frac{AE}{AG}$=$\frac{1}{4}$，
过A作AH⊥x轴于H，过E作EM⊥x轴于M，
∴AH∥EH，
∴△EMG∽△AHG，
∴$\frac{EM}{AH}=\frac{EG}{AG}=\frac{MG}{HG}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{EM}{\frac{2}{a}}$=$\frac{3}{4}$，
∴EM=$\frac{3}{2a}$，
设MG=3b，GH=4b，
∴E（3-3b，$\frac{3}{2a}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{a+4b=3}\\{（3-3b）•\frac{3}{2a}=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{9}{7}}\\{b=\frac{3}{7}}\end{array}\right.$，
∴A（$\frac{9}{7}$，$\frac{14}{9}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法、平行线分线段成比例定理，比较复杂，本题中由反比例函数的关系式得到OA与OB的比是关键．