Question

1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．
（1）求证：∠ACM=∠ABC；
（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切线得出∠ACM+∠ACO=90°，再利用∠BAC=∠ACO，得出结论，
（2）连接OC，得出△AEC是直角三角形，△AEC的外接圆的直径是AC，利用△ABC∽△CDE，求出AC．

解答 （1）证明：如图，连接OC，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
又∵CM是⊙O的切线，
∴OC⊥CM，
∴∠ACM+∠ACO=90°，
∵CO=AO，
∴∠BAC=∠ACO，
∴∠ACM=∠ABC；
（2）解：∵BC=CD，∠ACB=90°，
∴∠OAC=∠CAD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
又∵OC⊥CE，
∴AD⊥CE，
∴△AEC是直角三角形，
∴△AEC的外接圆的直径是AC，
又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，
∴△ABC∽△CDE，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BC}{ED}$，
⊙O的半径为3，
∴AB=6，
∴$\frac{6}{CD}$=$\frac{BC}{2}$，
∴BC²=12，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{36-12}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．解题的关键是找准角的关系．