Question

10．已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G，AF=$\frac{2}{3}$，求五边形DFGBC的周长．

Answer 1

分析 由翻折的性质可知：AF=EF=$\frac{2}{3}$，∠EFG=∠AFG，从而可知cos∠EFD=$\frac{1}{2}$，故此可求得∠DFE=60°，∠AFG=60°，然后再△AFG中利用特殊锐角三角函数值可求得FG，AG的长，从而可求得GB的长，最后计算出周长即可．

解答 解：∵AD=1，AF=$\frac{2}{3}$，
∴DF=$\frac{1}{3}$．
由翻折的性质可知：AF=EF=$\frac{2}{3}$，∠EFG=∠AFG．
在Rt△DEF中，cos∠EFD=$\frac{DF}{EF}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{2}$．
∴∠DFE=60°．
∴∠AFG=$\frac{1}{2}×（180°-60°）$=60°．
在Rt△AFG中，$\frac{FG}{AF}=\frac{1}{2}$，$\frac{AG}{AF}=\sqrt{3}$，∴FG=2AF=$\frac{4}{3}$，AG=$\sqrt{3}$AF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴GB=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$．
∴五边形的DFGBC的周长=DF+FG+GB+BC+CD=$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{3}$+$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$+1+2=$\frac{20-\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、特殊锐角三角函数值，由特殊度数的锐角三角函数值求得∠DFE=60°是解题的关键．