Question

11．如图，四边形ABCD，将其四边的中点依次连结起来，得到一个新的四边形，这个新的四边形形状一定是平行四边形，连接它的对角线，则：
（1）添加条件AC=BD，四边形EFGH是菱形．
（2）添加条件AC⊥BD，四边形ABCD是矩形，请证明（2）的正确性．

Answer 1

分析 根据三角形中位线定理得到EF∥HG，EF=HG，根据平行四边形的判定定理得到答案；
（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形解得即可；
（2）根据一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可．

解答 解：∵E、F分别是AD、AB的中线，
∴EF∥BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，
同理HG∥BD，HG=$\frac{1}{2}$BD，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（1）AC=BD，
∵EF=$\frac{1}{2}$BD，EH=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形；
（2）AC⊥BD，
∵EF∥BD，
∴EF⊥AC，
∵EH∥AC，
∴EF⊥EH，即∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故答案为：平行四边形；（1）AC=BD；（2）AC⊥BD．

点评 本题考查的是三角形中位线定理的应用、平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、灵活运用平行四边形、矩形、菱形的判定定理是解题的关键．