Question

18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点C作CE∥AD交AB于E，连接AC、DE，AC与DE交于点F．
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）如果EF=2$\sqrt{2}$，∠FCD=30°，∠FDC=45°，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的定义即可得出四边形AECD为平行四边形；
（2）作FM⊥CD于M，由平行四边形的性质得出DF=EF=2$\sqrt{2}$，由已知条件得出△DFM是等腰直角三角形，DM=FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=2，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得出CF=2FM=4，CM=2$\sqrt{3}$，得出DC=DM+CM=2+2$\sqrt{3}$即可．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD为平行四边形；
（2）解：作FM⊥CD于M，如图所示：
则∠FMD=∠FMC=90°，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴DF=EF=2$\sqrt{2}$，
∵∠FCD=30°，∠FDC=45°，
∴△DFM是等腰直角三角形，
∴DM=FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=2，CF=2FM=4，
∴CM=2$\sqrt{3}$，
∴DC=DM+CM=2+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形是解决问题（2）的关键．