Question

如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，P是弧AF上任一点，求

PA+PC

PB

的值．

Answer 1

考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,正多边形和圆,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：过点B作BG⊥AP于G，点B作BH⊥PC于H，如图，易证△BGP≌△BHP，则有PG=PH，BG=BH，进而可证到Rt△AGB≌Rt△CHB（HL），则有AG=CH，从而可得到PA+PC=2PH，然后在Rt△BHP中运用三角函数就可解决问题．

解答：解：过点B作BG⊥AP于G，点B作BH⊥PC于H，如图，
则有∠G=∠BHP=90°．
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠APB=∠BPC=30°，AB=BC．
在△BGP和△BHP中，

∠GPB=∠HPB ∠G=∠BHP BP=BP

，
∴△BGP≌△BHP（AAS），
∴PG=PH，BG=BH．
在Rt△AGB和Rt△CHB中，

AB=BC BG=BH

，
∴Rt△AGB≌Rt△CHB（HL），
∴AG=CH．
∴PA+PC=PA+PH+CH=PA+PH+AG=PG+PH=2PH．
在Rt△BHP中，
∵cos∠BPH=cos30°=

PH

PB

=

3

2

，
∴

2PH

PB

=

3

，
∴

PA+PC

PB

=

2PH

PB

=

3

．
∴

PA+PC

PB

的值为

3

．

点评：本题主要考查了正多边形和圆、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，事实上由本题可探究出更一般的结论：度数为α的圆周角与圆相交所得的两条弦的和等于此角平分线与圆相交所得的弦的2cos

α

2

倍．