Question

8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AD，∠1=∠2，使BE交于AD延长线于E，连接EC，过A作AF⊥EC于F交BC于G，下列结论：①∠AEB=∠ACB，②BE=CD，③S_△AGC=$\frac{AG•EF}{2}$，④∠2=2∠3，其中正确有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由∠1=∠2，利用角平分线的性质可得∠2=∠CAE，可得A，B，C，E四点共圆，由圆周角定理可得结论；②证明△ABE≌△ADC，利用全等三角形的性质可得结论；③由△ABE≌△ADC，易得AC=AE，由等腰三角形的性质易得CF=EF，得△AGC的面积；④由△AEC为等腰三角形易得∠EAF=∠CAF，可得结论．

解答 解：①∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠EAC，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠EAC，
∴A，B，C，E四点共圆，
∴∠AEB=∠ACB，
故此选项正确；
②在△ABE与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠AEB}\\{∠CAD=∠DAB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（AAS），
∴BE=DC，
故此选项正确；
③∵△ABE≌△ADC，
∴AE=AC，
∵AF⊥EC，
∴EF=CF，
∵S_△AGE=$\frac{1}{2}•$AG•CF=$\frac{AG•EF}{2}$，
故此选项正确；
④∵△EAC为等腰三角形，
∴∠EAF=∠3=$\frac{1}{2}$∠EAC=$\frac{1}{2}$∠2，
∴∠2=2∠3，
故此选项正确；
∴正确的有4个选项，
故选D．

点评 本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质等，综合运用各性质定理是解答此题的关键．