Question

7．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等腰三角形，其中OA=OB=2，∠AOB=30°．
（1）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象经过点B，求反比例函数的表达式；
（2）将△AOB绕点O顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°）．在旋转的过程中，点A，B能否同时落在（1）中反比例函数的图象上？若能，请求出α的值；若不能，则说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先过点B作BC⊥x轴于点C，由OA=OB=2，∠AOB=30°，可求得OC与BC的长，即可求得点B的坐标，继而求得答案；
（2）首先过点B′作B′C⊥x轴于点C，当点A′与点B重合时，A′（1，$\sqrt{3}$），∠AOB′=2∠AOB=60°，继而求得点B′的坐标，则可得点A′与B′都在反比例函数上，继而求得答案．

解答 解：（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵OA=OB=2，∠AOB=30°，
∴∠BOC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB=1，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴点B（1，$\sqrt{3}$），
∴k=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的表达式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；

（2）如图2，过点B′作B′C⊥x轴于点C，
当点A′与点B重合时，A′（1，$\sqrt{3}$），∠AOB′=2∠AOB=60°，
∴∠B′OC=30°，
∴B′C=$\frac{1}{2}$OB′=1，
∴OC=$\sqrt{OB{′}^{2}-B′{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴点B′（$\sqrt{3}$，1）在反比例函数的图象上；
∴α=30°，
同理：当点A′，B′在第三象限时，α=210°；
综上可得：当α=30°或210°时，点A，B能否同时落在（1）中反比例函数的图象上．

点评 此题属于反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式、旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是关键．